Download e-book for iPad: Differentialgeometrie und Minimalflächen by Jost-Hinrich Eschenburg, Jürgen Jost

By Jost-Hinrich Eschenburg, Jürgen Jost

ISBN-10: 3642385214

ISBN-13: 9783642385216

ISBN-10: 3642385222

ISBN-13: 9783642385223

Das vorliegende Lehrbuch bietet eine moderne Einführung in die Differenzialgeometrie - etwa im Umfang einer einsemestrigen Vorlesung. Zunächst behandelt es die Geometrie von Flächen im Raum. Viele Beispiele schulen Leser in geometrischer Anschauung, deren wichtigste Klasse die Minimalflächen bilden. Zu ihrem Studium entwickeln die Autoren analytische Methoden und lösen in diesem Zusammenhang das Plateausche challenge. Es besteht darin, eine Minimalfläche mit vorgegebener Berandung zu finden. Als Beispiel einer globalen Aussage der Differenzialgeometrie beweisen sie den Bernsteinschen Satz. Weitere Kapitel behandeln die innere Geometrie von Flächen einschließlich des Satzes von Gauss-Bonnet, und stellen die hyperbolische Geometrie ausführlich dar. Die Autoren verknüpfen geometrische Konstruktionen und analytische Methoden und folgen damit einem zentralen pattern der modernen mathematischen Forschung. Verschiedene geistesgeschichtliche Bemerkungen runden den textual content ab. Die Neuauflage wurde überarbeitet und aktualisiert.

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Die erste Fundamentalform 1 + (fx )2 + (fy )2 dx dy. 30) C 7. 31) ˜ eine Regelzueinander isometrisch sind und dass X eine Drehfl¨ ache, X fl¨ ache ist. Skizzieren Sie die beiden Fl¨achen. Sie heißen Katenoid und Wendelfl¨ ache und werden uns in diesem Buch noch oft begegnen, besonders im Kapitel 8 (siehe S. 117f). ˜ : U → En mit U ⊂ 8. Winkel- und Fl¨ achentreue: Zwei Immersionen X, X ur Rm heißen zueinander konform oder winkeltreu, wenn g˜ij = λ2 gij f¨ eine Funktion λ : U → (0, ∞). Sie heißen zueinander fl¨ achentreu, wenn ˜ C ) f¨ ur jede kompakte Teilmenge C ⊂ U , mit anderen A(X|C ) = A(X| ˜ gleichzeitig Worten, wenn det g˜ = det g.

55) folgt noch A (s)c (s) = −b (s). 2 ist fo = 0). Aufgabe: Zeigen Sie, dass der Tangentenvektor f (s) senkrecht auf der Verbindung von f (s) zum Kontaktpunkt k(s) steht: f , f − k = 0. 57) 14. Rollkurve des Ellipsen-Brennpunkts: f 1 y α f r y r˜ α f˜ y˜ α ˜ x p˜ k p 25 Es gibt einen rechenfreien Beweis dieser Tatsache mit Hilfe r¨ aumlicher Geometrie (Dandelinschen Kugeln); vgl. ], S. 62. 34 2. Kurven ¨ (Vgl. Kap. 60) Wir betrachten die Tangente von nun an als x-Achse. 60) die Differentialgleichung y + b/y = 2a/ 1 + (y )2 und damit y2 − 2ay 1 + (y )2 = −b2 .

Sie heißen zueinander fl¨ achentreu, wenn ˜ C ) f¨ ur jede kompakte Teilmenge C ⊂ U , mit anderen A(X|C ) = A(X| ˜ gleichzeitig Worten, wenn det g˜ = det g. Zeigen Sie: Wenn X und X winkel- und fl¨ achentreu sind, dann sind sie isometrisch. 9. Fl¨achentreue Immersionen: Zeigen Sie, dass die Parametrisierungen der Sph¨ are und des umbeschriebenen Zylinders im E3 durch die H¨ohe u u ¨ber der xy-Ebene und den Winkel v in der xy-Ebene zueinander fl¨achentreu sind. z u X ˜ X xy ˜ : (−1, 1) × (−π, π) → E3 = C × R, In Formeln: X, X X(u, v) = (eiv 1 − u2 ; u), ˜ X(u, v) = (eiv ; u).

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Differentialgeometrie und Minimalflächen by Jost-Hinrich Eschenburg, Jürgen Jost


by Thomas
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