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By Y. Matsushita

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Die erste Fundamentalform 1 + (fx )2 + (fy )2 dx dy. 30) C 7. 31) ˜ eine Regelzueinander isometrisch sind und dass X eine Drehfl¨ ache, X fl¨ ache ist. Skizzieren Sie die beiden Fl¨achen. Sie heißen Katenoid und Wendelfl¨ ache und werden uns in diesem Buch noch oft begegnen, besonders im Kapitel 8 (siehe S. 117f). ˜ : U → En mit U ⊂ 8. Winkel- und Fl¨ achentreue: Zwei Immersionen X, X ur Rm heißen zueinander konform oder winkeltreu, wenn g˜ij = λ2 gij f¨ eine Funktion λ : U → (0, ∞). Sie heißen zueinander fl¨ achentreu, wenn ˜ C ) f¨ ur jede kompakte Teilmenge C ⊂ U , mit anderen A(X|C ) = A(X| ˜ gleichzeitig Worten, wenn det g˜ = det g.

55) folgt noch A (s)c (s) = −b (s). 2 ist fo = 0). Aufgabe: Zeigen Sie, dass der Tangentenvektor f (s) senkrecht auf der Verbindung von f (s) zum Kontaktpunkt k(s) steht: f , f − k = 0. 57) 14. Rollkurve des Ellipsen-Brennpunkts: f 1 y α f r y r˜ α f˜ y˜ α ˜ x p˜ k p 25 Es gibt einen rechenfreien Beweis dieser Tatsache mit Hilfe r¨ aumlicher Geometrie (Dandelinschen Kugeln); vgl. ], S. 62. 34 2. Kurven ¨ (Vgl. Kap. 60) Wir betrachten die Tangente von nun an als x-Achse. 60) die Differentialgleichung y + b/y = 2a/ 1 + (y )2 und damit y2 − 2ay 1 + (y )2 = −b2 .

Sie heißen zueinander fl¨ achentreu, wenn ˜ C ) f¨ ur jede kompakte Teilmenge C ⊂ U , mit anderen A(X|C ) = A(X| ˜ gleichzeitig Worten, wenn det g˜ = det g. Zeigen Sie: Wenn X und X winkel- und fl¨ achentreu sind, dann sind sie isometrisch. 9. Fl¨achentreue Immersionen: Zeigen Sie, dass die Parametrisierungen der Sph¨ are und des umbeschriebenen Zylinders im E3 durch die H¨ohe u u ¨ber der xy-Ebene und den Winkel v in der xy-Ebene zueinander fl¨achentreu sind. z u X ˜ X xy ˜ : (−1, 1) × (−π, π) → E3 = C × R, In Formeln: X, X X(u, v) = (eiv 1 − u2 ; u), ˜ X(u, v) = (eiv ; u).

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Differentiable Manifolds by Y. Matsushita


by Christopher
4.2

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