Get Algorithmische Geometrie: Polyedrische und algebraische PDF

By Michael Joswig, Thorsten Theobald

ISBN-10: 3834802816

ISBN-13: 9783834802811

In dem Lehrbuch wird eine mathematisch orientierte Einführung in die algorithmische Geometrie gegeben. Im ersten Teil werden „klassische“ Probleme und Techniken behandelt, die sich auf polyedrische (= linear begrenzte) Objekte beziehen. Hierzu gehören beispielsweise Algorithmen zur Berechnung konvexer Hüllen und die Konstruktion von Voronoi-Diagrammen. Im zweiten Teil werden grundlegende Methoden der algorithmischen algebraischen Geometrie entwickelt und anhand von Anwendungen aus Computergrafik, Kurvenrekonstruktion und Robotik illustriert. Das Buch eignet sich für ein fortgeschrittenes Modul in den derzeit neu konzipierten Bachelor-Studiengängen in Mathematik und Informatik.

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16 L = x ∈ R3 : x1 = 1 , x1 + 2x2 + x3 = 3 Es folgt ⎛ −( A I )−1 = −( A{3,4,7} )−1 0 = ⎝− 12 1 −1 1 2 0 . ⎞ 0 − 12 ⎠ , 0 so dass die zum Index i = 3 korrespondierende Spalte s = (0, −1/2, 1) T ist. 11) wird für den Index j = 6 angenommen. Die Indexmenge der neuen Basis lautet also I = {4, 6, 7}, und als neue Ecke ergibt sich v = (1, 1/2, 1) T . 11) bestimmte λs kann durchaus Null werden. Nur für λs > 0 kommt man in der Richtung s von v aus zu einer in Bezug auf die Zielfunktion c besseren Ecke.

Jedes Simplex ist sowohl ein simpliziales als auch ein einfaches Polytop. 3. 22. Es sei P ein n-Polytop mit Eckenmenge V und Kantenmenge E. Der Graph Γ ( P ) ist der abstrakte Graph (V, E ) mit der natürlichen Inzidenz. Zeigen Sie: a. Der Graph Γ ( P ) ist zusammenhängend. b. Jede Ecke ist in mindestens n Kanten enthalten. c. Das n-Polytop P ist genau dann einfach, wenn jede Ecke in genau n Kanten enthalten ist. 3 Polarität und Dualität Das im Folgenden eingeführte Konzept der Polarität ordnet jedem Polytop P, dessen Inneres den Nullpunkt enthält, ein polares Polytop P◦ zu, so dass zu jeder k-Seite von P eine (n − k − 1)-Seite von P◦ korrespondiert.

9 volldimensional ist, ist der affine Aufspann jeder Facette F eine Hyperebene H. Hat H die Form H = [ a0 : · · · : an ] und gilt P ⊆ H + , dann heißt jedes positive Vielfache von ( a1 , . . , an ) T ein innerer Normalenvektor von F und jedes negative Vielfache von ( a1 , . . , an ) T ein äußerer Normalenvektor von F. Gilt dagegen dim P < n, so gibt es unendlich viele affine Hyperebenen von R n durch jede Facette von P. 7, dass der Rand eines Polytops die Vereinigung seiner Facetten ist. 10 Ist der Durchschnitt P einer endlichen Anzahl abgeschlossener affiner Halbräume in R n beschränkt, dann ist P ein Polytop.

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Algorithmische Geometrie: Polyedrische und algebraische Methoden by Michael Joswig, Thorsten Theobald


by Christopher
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